大数定理是指一组随机变量的平均值在重复试验中趋于其期望值的稳定性规律。其中最著名的大数定理是强大数定律和弱大数定律。强大数定律指的是样本平均值在概率上几乎必然收敛于期望值，而弱大数定律是指样本平均值以概率收敛于期望值。这些定理在概率论和统计学中具有重要意义，对于理解随机事件的规律性和可预测性有着重要影响。

大数定理主要有两个版本：强大数定律和弱大数定律。我会用数学公式分别表示它们。

强大数定律：

如果 X1,X2,X3,…,XnX_1, X_2, X_3, \dots, X_nX1​,X2​,X3​,…,Xn​ 是一个独立同分布的随机变量序列，具有相同的期望值 μ\muμ 和有限的方差σ2\sigma^2σ2，则对于任意给定的正数 ϵ>0\epsilon > 0ϵ>0，当 nnn 趋向于无穷大时，以下式子几乎处处成立：

lim⁡n→∞P(∣1n∑i=1nXi−μ∣<ϵ)=1

\lim_{n \to \infty} P\left(\left|\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i - \mu\right| < \epsilon\right) = 1

n→∞lim​P(​n1​i=1∑n​Xi​−μ​<ϵ)=1

这可以表示为样本平均值 1n∑i=1nXi\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_in1​∑i=1n​Xi​ 几乎以概率为111 收敛于期望值 μ\muμ。

弱大数定律：

如果X1,X2,X3,…,XnX_1, X_2, X_3, \dots, X_nX1​,X2​,X3​,…,Xn​ 是一个独立同分布的随机变量序列，具有相同的期望值μ\muμ和有限的方差σ2\sigma^2σ2，则对于任意给定的正数 ϵ>0\epsilon > 0ϵ>0，当 nnn 趋向于无穷大时，以下式子成立：

lim⁡n→∞P(∣1n∑i=1nXi−μ∣≥ϵ)=0

\lim_{n \to \infty} P\left(\left|\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i - \mu\right| \geq \epsilon\right) = 0

n→∞lim​P(​n1​i=1∑n​Xi​−μ​≥ϵ)=0

这表示样本平均值 1n∑i=1nXi\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_in1​∑i=1n​Xi​ 以概率收敛于期望值 μ\muμ，即样本平均值与期望值之间的差异在概率上趋近于零。

强大数定律和弱大数定律都关注随机变量序列的样本平均值在重复试验中向其期望值收敛的性质，但它们在表达上略有不同。

强大数定律：

强大数定律指出，对于独立同分布的随机变量序列，样本平均值几乎以概率为1收敛于期望值。换句话说，随着样本数量的增加，样本平均值接近期望值的概率极其高，几乎确定性地趋向于期望值。

弱大数定律：

弱大数定律则是指出，对于独立同分布的随机变量序列，样本平均值以概率收敛于期望值。这意味着随着样本数量的增加，样本平均值与期望值之间的差异在概率上趋近于零，即样本平均值以概率趋向于期望值。

区别主要在于"几乎必然"（强大数定律）和"以概率"（弱大数定律）这两种表达方式。强大数定律强调了随机变量序列样本平均值几乎总是接近期望值，几乎确定性地收敛；而弱大数定律则强调了以概率的方式，样本平均值趋向于期望值，但不一定以确定性方式。